约瑟夫环的公式推导

关于约瑟夫环问题的公式解法的推导,我看了很多文章,其中推理过程各有千秋,所以写一写自己的推导过程。

问题描述

  • 输入: n 和 m

  • n个人围成一圈,编号 0~n-1;

    计数器从 0~m-1 计数,每到第 m个(计数器到m-1) ,这个人就出列。

    下一个人从0开始计数。

  • 输出:剩下的最后一个人标号

公式法

第一轮分析

先看第一轮出列的人是谁:

无论m和n哪个大,m%n都是下一轮的第一个人。

假设上一轮出列的人是 k 。

原序列:    {0···k-1 , k ,  k+1(m%n)···n-1}        //n个人
K出列:    {0···k-1 ,        k+1(m%n)···n-1}    //n-1个人
⚠️重点标记⚠️ 最后我们会回来用到上面👆

这时候问题由 (m,n) 的退化成了 (m,n-1)的,其实每次退化,m都不会变。

所以我们可以直接说,问题从 F(n) 退化成了 F(n-1) 的

我们只需要往下分析完F(n-1)的,问题就很清晰了。

第二轮分析

这一轮还有 n-1个数,重新编号肯定是 0到n-2呗,

k+1 变成了 0,k+2 变成了 1

最后一个数 k+n-1 变成了 n-2。 而我们都知道, k-1就是 k+n-1

这时候我们思考一个问题, 给你一个这一轮新编的序号 x 。你怎么算出它在第一轮序号?

是不是 (x+k+1)%n就可以?举几个例子:

x=0, (0+k+1)%n = k+1

x=1, (1+k+1)%n = k+2

x=n-2, (n-2+k+1)%n = k-1

这一步的分析告诉我们,如果我们求出 F(n-1)这个问题的解是 x那 (x+k+1)%n 就是 F(n) 的解

写成公式就是:

F(n) =[ F(n-1)+k+1 ]%n

综上可知

我们每轮都能得到一个结果x。用x可以推出它在上一轮的结果。

最后一轮F(1)的结果一定是0,

F(1), 无论m是几,n=1。m%1当然是0。

但是这个 0 ,是F(1)这个问题里的0!

它是上一层的几号?我们要一步步推回去才知道!

一层层反推上去,是不是就能最终得到,F(1) 里那个 0 ,对应的 是 F(n) 里的几号?这个结果不就是答案吗?

看懵了?

有同学可能会说,反正最后一次F(0)结果肯定是 0 。那我一层层推回去得到 F(n),岂不是这个问题的结果只和 n 有关?

看看 由 F(n-1) 推出 F(n) 的公式!

F(n) =[ F(n-1)+k+1 ]%n

这里面,是只有 n 这一个变量吗? 还有k啊! k是什么? 看⚠️重点标记⚠️ 啊。

k+1 就是 m%n !!!

所以推导公式其实就是

F(n) =[ F(n-1)+ m%n ]%n ==化简==> F(n) =[ F(n-1)+ m ]%n

所以这道题其实就是求函数

        F(n) =[ F(n-1)+ m ]%n ,n>1
F(n)=
        0, n=1

对着这公式代码写起来就太容易了吧?

int func(int n,int m){
    if(n==1)
        return 0;
    return (func(n-1,m)+m)%n;
}

其中的一些细节,还需要多琢磨几遍!


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